在高考数学的备考过程中，函数是整个数学体系中的核心内容之一，贯穿于代数、几何以及导数等多个知识点。掌握好函数的相关公式和性质，不仅有助于提升解题效率，还能为后续的综合题打下坚实基础。本文将系统整理高考数学第一轮复习中常见的函数相关公式，帮助考生全面梳理知识结构，提高复习效率。
一、函数的基本概念
1. 函数定义
设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应法则f，使得对于集合A中的每一个元素x，都有唯一确定的数y∈B与之对应，那么称f：A→B为一个函数。
2. 函数的三要素
- 定义域：自变量x的取值范围；
- 对应法则：函数的表达式或映射关系；
- 值域：函数值y的取值范围。
3. 函数的表示方法
- 解析法（公式法）
- 图像法
- 列表法
二、基本初等函数及其图像
1. 一次函数
形式：y = kx + b
- 斜率k决定函数的增减性；
- 当k > 0时，函数单调递增；
- 当k < 0时，函数单调递减。
2. 二次函数
形式：y = ax² + bx + c
- 图像是抛物线；
- 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))
- 开口方向由a的正负决定。
3. 指数函数
形式：y = a^x（a > 0且a ≠ 1）
- 当a > 1时，函数在R上单调递增；
- 当0 < a < 1时，函数在R上单调递减。
4. 对数函数
形式：y = log_a x（a > 0且a ≠ 1）
- 定义域为x > 0；
- 与指数函数互为反函数。
5. 幂函数
形式：y = x^a（a为常数）
- 根据a的不同，函数图像和性质也不同。
6. 三角函数
包括正弦、余弦、正切等函数，如：
- y = sinx，y = cosx，y = tanx
- 具有周期性和对称性。
三、函数的性质
1. 奇偶性
- 偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称；
- 奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。
2. 单调性
- 若在区间I上，当x₁ < x₂时，f(x₁) < f(x₂)，则f(x)在I上单调递增；
- 反之，则单调递减。
3. 周期性
- 若存在T > 0，使得f(x + T) = f(x)，则f(x)为周期函数，T为其周期。
4. 对称性
- 关于某条直线或点对称，如y = f(a - x)与y = f(a + x)关于x = a对称。
四、函数的运算与变换
1. 函数的加减乘除
- 若f(x)、g(x)均为函数，则它们的和、差、积、商也是函数。
2. 复合函数
- 若y = f(u)，u = g(x)，则y = f(g(x))称为复合函数。
3. 反函数
- 若函数f(x)满足一一对应关系，则其反函数存在，记作y = f⁻¹(x)。
4. 函数图像的平移与伸缩
- y = f(x + a)：向左平移a个单位；
- y = f(x) + b：向上平移b个单位；
- y = kf(x)：纵向伸缩；
- y = f(kx)：横向伸缩。
五、函数的极限与连续性（选修内容）
1. 极限的定义
lim_{x→a} f(x) = L 表示当x无限趋近于a时，f(x)无限趋近于L。
2. 连续性的定义
函数f(x)在x = a处连续，当且仅当：
- f(a)存在；
- lim_{x→a} f(x)存在；
- lim_{x→a} f(x) = f(a)
六、常见函数的导数公式（为后续学习做铺垫）
| 函数类型 | 导数 |
|----------|------|
| y = x^n | y' = nx^{n-1} |
| y = e^x | y' = e^x |
| y = a^x | y' = a^x ln a |
| y = ln x | y' = 1/x |
| y = sin x | y' = cos x |
| y = cos x | y' = -sin x |
结语
函数是高考数学的重要组成部分，其知识点多、应用广，需要在第一轮复习中扎实掌握。通过系统的复习和归纳，考生可以逐步建立起完整的函数知识体系，为后续的专题突破和综合训练打下良好基础。希望本篇总结能帮助广大考生高效复习，顺利应对高考！
温馨提示：复习过程中建议结合例题进行练习，注重理解与运用，避免死记硬背。
