在信息科学与技术的众多分支中，信息论与编码理论是理解现代通信系统、数据压缩和信道传输的核心基础。为了帮助学生更好地掌握这门课程的关键知识点，以下是一套涵盖主要概念与典型问题的期末考试题，适用于本科或研究生阶段的信息论与编码课程。

一、填空题（每空2分，共10分）

1. 信息熵的单位通常为_________，其定义为信息的不确定性度量。

2. 在香农第一定理中，信息率失真函数R(D)表示的是在允许一定失真的前提下，_________的最小值。

3. 线性分组码的生成矩阵G的秩等于_________。

4. 若一个信道的容量为C，则当信息传输速率R小于C时，可以实现_________传输。

5. 哈夫曼编码是一种_________编码方法，其基本思想是将出现概率高的符号赋予较短的码字。

二、选择题（每题2分，共10分）

1. 下列哪一项不是香农第二定理的内容？

- A. 信道容量是信息传输的最大速率

- B. 当信息率小于信道容量时，存在无差错的编码方式

- C. 信道容量与带宽无关

- D. 信道容量受噪声影响

2. 对于二元对称信道（BSC），若输入符号为0，输出为1的概率为p，则信道转移概率P(1|0)为：

- A. p

- B. 1-p

- C. 0.5

- D. 无法确定

3. 奇偶校验码属于哪种类型的纠错码？

- A. 卷积码

- B. 线性分组码

- C. 非线性码

- D. 重复码

4. 以下哪种编码方式具有最大可能的压缩率？

- A. 霍夫曼编码

- B. 算术编码

- C. 差分脉冲编码调制（DPCM）

- D. LZW编码

5. 信息熵H(X)的取值范围是：

- A. [0, ∞)

- B. (0, 1)

- C. [0, log n]（n为符号数）

- D. [0, 1]

三、简答题（每题5分，共20分）

1. 请简述香农第一定理的基本内容及其意义。

2. 什么是信息论中的“互信息”？它与熵之间有何关系？

3. 请解释线性分组码的编码过程，并说明其特点。

4. 为什么说哈夫曼编码是前缀码？这种性质有什么优点？

四、计算题（每题10分，共40分）

1. 设某信源有四个符号：a₁, a₂, a₃, a₄，其概率分别为0.4、0.2、0.2、0.2。求该信源的信息熵H(X)，并设计一种哈夫曼编码方案。

2. 已知一个二元对称信道的比特错误率为p=0.1，求该信道的容量C。

3. 某线性分组码的生成矩阵为：

$$

G = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

请写出其对应的校验矩阵H，并判断该码的最小汉明距离d_min。

4. 设有一个离散无记忆信源，其符号集合为{A, B, C}，概率分布为P(A)=0.5，P(B)=0.25，P(C)=0.25。试计算其信息熵H(X)，并设计一种算术编码的编码过程（只需列出步骤）。

五、综合应用题（20分）

设有一个二进制对称信道，输入符号为0和1，信道的转移概率如下：

- P(0|0) = 0.9，P(1|0) = 0.1

- P(0|1) = 0.1，P(1|1) = 0.9

假设输入符号0和1的概率相等，即P(0)=P(1)=0.5。试求：

1. 该信道的信道容量C；

2. 输入符号序列长度为2时的联合概率分布；

3. 若采用重复码（如000和111），则其误码率如何变化？请分析原因。

参考答案（供教师使用）

（略，因本题为考试题目，不提供标准答案）

结语

信息论与编码作为通信与数据处理领域的基石，不仅在学术研究中占据重要地位，也在实际工程中发挥着关键作用。通过系统的复习与练习，学生能够深入理解信息的量化、传输与压缩原理，为今后的学习与研究打下坚实基础。希望本套试题能帮助大家巩固知识、提升能力，顺利应对期末考试。