【博弈论习题2】在博弈论的学习过程中，习题是巩固理论知识、提升分析能力的重要手段。本文将围绕“博弈论习题2”展开，通过具体案例的分析与解答，帮助读者更好地理解博弈的基本概念、均衡分析方法以及策略选择的逻辑。

一、基本概念回顾

博弈论是研究多个理性决策者之间相互影响的数学模型。每个参与者在做出决策时，都会考虑其他人的可能行为，并试图最大化自身的利益。常见的博弈类型包括零和博弈、非零和博弈、合作博弈与非合作博弈等。

在非合作博弈中，纳什均衡是一个核心概念。它指的是在给定其他参与者策略的情况下，没有任何一方可以通过单方面改变自己的策略来获得更好的结果。

二、典型题目解析

题目1：两人博弈中的纯策略纳什均衡

假设有两个玩家A和B，他们的收益矩阵如下：

| | B1 | B2 |

|-------|----|----|

| A1 | 3, 3 | 0, 4 |

| A2 | 4, 0 | 1, 1 |

请找出该博弈的纳什均衡。

解题思路：

- 玩家A选择A1时，B的最佳反应是B2（因为4 > 3）；

- 玩家A选择A2时，B的最佳反应是B1（因为0 < 1）；

- 玩家B选择B1时，A的最佳反应是A2（因为4 > 3）；

- 玩家B选择B2时，A的最佳反应是A1（因为0 < 1）。

因此，当A选择A2且B选择B1时，双方都无法通过单方面改变策略获得更高收益，这是一个纳什均衡。

结论： (A2, B1) 是一个纳什均衡。

题目2：混合策略均衡分析

考虑一个简单的“石头剪刀布”游戏，其中每位玩家有三种策略：石头、剪刀、布。假设两人的支付矩阵如下（以玩家A为视角）：

| | 剪刀 | 布 | 石头 |

|-------|------|------|------|

| 剪刀 | 0| -1 | 1|

| 布 | 1| 0| -1 |

| 石头 | -1 | 1| 0|

请计算该游戏的混合策略纳什均衡。

解题思路：

在混合策略中，玩家会以一定的概率选择不同的策略，使得对方无法通过调整策略获得优势。

设玩家A选择石头、剪刀、布的概率分别为 $ p_1, p_2, p_3 $，玩家B选择相应的概率为 $ q_1, q_2, q_3 $。

由于对称性，我们假设双方都采用相同的混合策略，即 $ p_1 = q_1, p_2 = q_2, p_3 = q_3 $。

为了使对方无差异选择任何策略，必须满足：

- 对于B来说，选择石头、剪刀、布的期望收益相等；

- 同理，对于A来说也是如此。

经过计算可得，当每个策略被选择的概率均为 $ \frac{1}{3} $ 时，双方的期望收益相等，此时没有一方能通过改变策略获得优势。

结论： 混合策略纳什均衡为 $ (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) $。

三、总结与思考

通过以上两道习题的分析，我们可以看到，博弈论不仅关注个体的最优策略选择，更强调在多人互动中如何达到一种稳定的平衡状态。无论是纯策略还是混合策略，关键在于理解对手的行为模式，并据此做出合理的决策。

在实际应用中，博弈论广泛用于经济学、政治学、计算机科学等多个领域，掌握其核心思想有助于我们在复杂环境中做出更优的选择。

参考文献：

- Osborne, M. J., & Rubinstein, A. (1994). A Course in Game Theory. MIT Press.

- 谢识予. (2008). 博弈论与经济行为. 复旦大学出版社.

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