【线性规划习题】在数学与运筹学中，线性规划（Linear Programming, LP）是一种用于优化资源分配的工具。它通过建立线性目标函数和线性约束条件，来寻找最优解。线性规划广泛应用于生产计划、运输调度、财务投资等领域，是解决实际问题的重要方法之一。
本篇习题旨在帮助学习者更好地理解和掌握线性规划的基本概念、建模方法以及求解技巧。通过练习，可以加深对线性规划模型的理解，并提升解决实际问题的能力。
一、基本概念回顾
线性规划问题通常由以下三部分组成：
1. 决策变量：表示需要确定的量，如生产数量、资源使用量等。
2. 目标函数：表示要最大化或最小化的指标，如利润、成本等。
3. 约束条件：表示资源限制或技术要求，如原材料、时间、设备等。
线性规划模型的一般形式为：
- 最大化或最小化：
$$
\text{Max} \quad Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n
$$
或
$$
\text{Min} \quad Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n
$$
- 满足约束条件：
$$
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \leq b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leq b_m
$$
- 非负约束：
$$
x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0
$$
二、典型例题解析
例题1：生产计划问题
某工厂生产两种产品A和B，每件A可获利5元，每件B可获利4元。生产一件A需要2小时人工，一件B需要1小时人工。工厂每天最多有8小时人工可用。另外，原材料限制使得最多只能生产6件产品。问如何安排生产才能使总利润最大？
解：
设生产A的数量为 $ x_1 $，生产B的数量为 $ x_2 $。
目标函数为：
$$
\text{Max} \quad Z = 5x_1 + 4x_2
$$
约束条件为：
$$
2x_1 + x_2 \leq 8 \\
x_1 + x_2 \leq 6 \\
x_1 \geq 0, x_2 \geq 0
$$
利用图解法或单纯形法求解，最终得到最优解为 $ x_1 = 2, x_2 = 4 $，最大利润为26元。
例题2：运输问题
某公司有三个仓库，分别供应四个销售点。各仓库的库存量及各销售点的需求量如下表所示：
| 仓库 | 库存量 |
|------|--------|
| A| 10 |
| B| 15 |
| C| 10 |
| 销售点 | 需求量 |
|--------|--------|
| X| 8|
| Y| 12 |
| Z| 10 |
| W| 5|
运输费用如下表（单位：元/单位）：
| | X | Y | Z | W |
|-------|---|---|---|---|
| A | 2 | 3 | 4 | 5 |
| B | 3 | 2 | 1 | 4 |
| C | 5 | 4 | 2 | 1 |
求如何安排运输方案，使得总运费最低。
解：
这是一个典型的运输问题，可通过运输单纯形法或匈牙利算法求解。经过计算，最优运输方案为：
- A向X运输8单位；
- B向Y运输12单位；
- C向Z运输10单位；
- B向W运输5单位；
总运费为 8×2 + 12×2 + 10×2 + 5×4 = 16 + 24 + 20 + 20 = 80元。
三、练习题
1. 某企业生产两种产品P和Q，每单位P利润为6元，每单位Q利润为4元。生产P需要3小时机器时间，Q需要2小时。企业每天有12小时机器时间可用。求最大利润。
2. 某学校需要从两个供应商采购文具，供应商甲提供笔和笔记本，供应商乙只提供笔记本。已知笔每支2元，笔记本每本3元。学校需要至少10支笔和15本笔记本。供应商甲的供货上限为10支笔和10本笔记本，供应商乙最多可提供15本笔记本。如何采购最省钱？
3. 一个农场有50公顷土地，可用于种植小麦和玉米。每公顷小麦需用1吨化肥，每公顷玉米需用2吨化肥。化肥总量不超过70吨。小麦每公顷收益为1000元，玉米为1500元。如何安排种植面积以获得最大收益？
四、总结
线性规划是一种强大的优化工具，适用于多种实际问题的建模与求解。通过不断练习和深入理解，能够更灵活地运用这一方法解决复杂的资源分配问题。希望本篇习题能帮助读者巩固知识，提升分析与解决问题的能力。
