【复变函数(第四版)课后答案详解（全文）】在学习复变函数这门课程时，很多学生都会遇到一些难以理解的概念和复杂的计算题。尤其是对于刚开始接触复分析的学生来说，课后习题往往成为他们掌握知识点的重要途径。为了帮助大家更好地理解和巩固所学内容，本文将围绕《复变函数（第四版）》的课后习题进行详细解答与解析，力求做到全面、清晰、易懂。
一、教材简介
《复变函数（第四版）》是由高等教育出版社出版的一本经典教材，广泛用于高校数学专业的教学中。该书系统地介绍了复数、复变函数的基本概念、解析函数、复积分、级数展开、留数理论以及共形映射等内容。作为一门重要的数学基础课程，它不仅为后续的数学课程打下坚实的基础，也在物理、工程等领域有着广泛应用。
二、课后习题的重要性
课后习题是检验学习效果的重要手段。通过做题，不仅可以加深对基本概念的理解，还能提升解题技巧和逻辑思维能力。然而，许多同学在做题过程中常常会遇到困难，比如对某些定理的应用不熟悉、计算过程容易出错等。
因此，针对《复变函数（第四版）》的课后习题进行详细的讲解和解析，具有非常重要的意义。
三、典型例题解析
以下是一些典型习题的解析示例，供同学们参考：
1. 复数的运算
题目： 计算复数 $ z = (1 + i)^3 $ 的实部和虚部。
解析：
首先，我们可以使用二项式展开法来计算：
$$
(1 + i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i
$$
所以，实部为 -2，虚部为 2。
2. 解析函数的判定
题目： 判断函数 $ f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi $ 是否为解析函数。
解析：
根据柯西-黎曼方程，设 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，其中：
$$
u = x^2 - y^2, \quad v = 2xy
$$
则：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \\
\frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y
$$
显然，满足柯西-黎曼条件，因此该函数在定义域内是解析函数。
3. 复积分的计算
题目： 计算 $ \int_C \frac{1}{z} dz $，其中 $ C $ 是从 $ 1 $ 到 $ -1 $ 沿单位圆上半部分的路径。
解析：
由于被积函数 $ \frac{1}{z} $ 在闭合路径内有一个奇点 $ z = 0 $，而路径 $ C $ 并不是一个闭合曲线，因此不能直接使用柯西积分公式。可以考虑参数化路径：
$$
z(t) = e^{it}, \quad t \in [0, \pi]
$$
代入积分得：
$$
\int_0^\pi \frac{1}{e^{it}} \cdot ie^{it} dt = i \int_0^\pi dt = i\pi
$$
四、学习建议
1. 注重基础概念：复变函数中的许多概念如解析函数、幂级数、留数等，都是建立在扎实的数学基础之上的。
2. 多做练习题：通过大量练习，逐步掌握解题思路和技巧。
3. 结合图形理解：复平面中的几何表示有助于直观理解复函数的性质。
4. 查阅参考资料：除了教材外，还可以参考其他辅助资料或在线资源，以拓宽知识面。
五、结语
《复变函数（第四版）》作为一本经典的教材，其内容严谨、结构清晰，是学习复分析的重要工具。通过对课后习题的深入解析，可以帮助学生更好地掌握复变函数的核心思想和方法。希望本文能够为正在学习这门课程的同学提供一定的帮助，也祝愿大家在学习过程中不断进步，取得优异的成绩。
