【复合函数求导公式】在微积分中，复合函数的求导是求导法则中最重要的一部分之一。当一个函数是由两个或多个函数组合而成时，我们需要使用“链式法则”来进行求导。本文将对复合函数求导的基本公式进行总结，并通过表格形式展示不同情况下的求导方法。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指由两个或多个函数嵌套构成的函数，通常表示为 $ y = f(g(x)) $，其中 $ g(x) $ 是内层函数，$ f(u) $ 是外层函数，$ u = g(x) $。
根据链式法则（Chain Rule），复合函数的导数可以表示为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
二、常见复合函数的求导公式总结
以下是一些常见的复合函数及其对应的求导公式，便于快速查阅和应用。
| 复合函数形式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ y = f(u) $, $ u = g(x) $ | $ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) $ | 基本链式法则 |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ \frac{dy}{dx} = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | 幂函数的导数 |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cos(g(x)) \cdot g'(x) $ | 三角函数的导数 |
| $ y = \cos(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = -\sin(g(x)) \cdot g'(x) $ | 三角函数的导数 |
| $ y = \tan(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \sec^2(g(x)) \cdot g'(x) $ | 三角函数的导数 |
| $ y = a^{g(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = a^{g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g'(x) $ | 指数函数的导数（底数为常数） |
三、实际应用示例
例1：求 $ y = (3x^2 + 5)^4 $ 的导数。
解：
- 设 $ u = 3x^2 + 5 $，则 $ y = u^4 $
- $ \frac{dy}{du} = 4u^3 $，$ \frac{du}{dx} = 6x $
- 所以 $ \frac{dy}{dx} = 4(3x^2 + 5)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 5)^3 $
例2：求 $ y = \ln(\sin x) $ 的导数。
解：
- 设 $ u = \sin x $，则 $ y = \ln u $
- $ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u} $，$ \frac{du}{dx} = \cos x $
- 所以 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x $
四、注意事项
1. 正确识别内外函数：在使用链式法则时，首先要明确哪个函数是外层，哪个是内层。
2. 逐层求导：对于多层复合函数（如 $ y = f(g(h(x))) $），需要依次对外层、中层、内层求导并相乘。
3. 注意符号与运算顺序：特别是涉及三角函数、指数函数等时，容易出现符号错误或计算顺序混乱。
五、结语
复合函数的求导是微积分中的核心内容之一，掌握链式法则不仅能提高解题效率，还能加深对函数结构的理解。通过熟练运用上述公式和方法，可以更轻松地应对各种复杂的求导问题。
以上就是【复合函数求导公式】相关内容，希望对您有所帮助。
