【什么是动态规划】动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种用于解决复杂问题的算法设计方法。它通过将问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解，以避免重复计算，从而提高效率。动态规划广泛应用于计算机科学、数学、经济学等领域，尤其在优化问题中表现突出。
一、动态规划的核心思想
动态规划的基本思想是“分而治之”，但与传统的分治法不同的是，动态规划会保存已经解决的子问题的解，以便后续直接调用。这种方法适用于具有重叠子问题和最优子结构特征的问题。
- 重叠子问题：同一子问题会被多次调用。
- 最优子结构：原问题的最优解包含其子问题的最优解。
二、动态规划的常见应用场景
| 应用场景 | 举例说明 |
| 最短路径问题 | 如 Dijkstra 算法、Floyd-Warshall 算法 |
| 背包问题 | 0-1 背包、完全背包等 |
| 最长公共子序列 | LCS 问题 |
| 斐波那契数列 | 递归优化 |
| 矩阵链乘法 | 最小化乘法次数 |
| 编辑距离 | 字符串之间的最小操作次数 |
三、动态规划的实现方式
动态规划通常有两种实现方式：
| 实现方式 | 说明 |
| 自顶向下（记忆化搜索） | 从原问题出发，递归地解决问题，使用缓存存储已计算的结果 |
| 自底向上（迭代） | 从最小的子问题开始，逐步构建出原问题的解 |
四、动态规划的优缺点
| 优点 | 缺点 |
| 高效处理重叠子问题 | 空间复杂度较高 |
| 可以解决复杂优化问题 | 初期设计难度较大 |
| 解决方案可复用 | 不适合所有类型的问题 |
五、动态规划的步骤总结
1. 定义状态：明确问题中的变量和状态表示。
2. 确定状态转移方程：找出状态之间的关系。
3. 初始化边界条件：设定最小子问题的解。
4. 计算并存储结果：按顺序或递归方式求解。
5. 返回最终结果：根据状态数组得出最终答案。
六、总结
动态规划是一种高效的算法策略，特别适合处理具有重叠子问题和最优子结构的问题。虽然它的学习曲线较陡，但一旦掌握，便能解决许多实际应用中的复杂问题。无论是经典的背包问题还是字符串匹配问题，动态规划都提供了强大的解决方案。
