在物理学中，弹力是一种非常常见的力，它通常出现在物体被拉伸或压缩的情况下。例如，弹簧在受到外力作用时会产生弹力。为了更好地理解弹力的工作原理，我们需要推导出弹力做功的公式。

首先，让我们回顾一下胡克定律（Hooke's Law）。胡克定律描述了弹簧的弹力与其形变量之间的关系：

\[ F = -kx \]

其中：

- \( F \) 是弹簧的弹力，

- \( k \) 是弹簧的劲度系数（也称为弹性系数），

- \( x \) 是弹簧相对于其自然长度的位移。

这里的负号表示弹力的方向总是与位移方向相反，即弹簧会试图恢复到它的自然状态。

接下来，我们考虑弹力所做的功。根据功的定义，功 \( W \) 等于力 \( F \) 在位移 \( dx \) 上的作用：

\[ dW = F \cdot dx \]

将胡克定律代入上式，得到：

\[ dW = (-kx) \cdot dx \]

为了计算整个过程中的总功，我们需要对 \( x \) 从初始位置 \( x_1 \) 到最终位置 \( x_2 \) 进行积分：

\[ W = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) \, dx \]

现在进行积分运算：

\[ W = -k \int_{x_1}^{x_2} x \, dx \]

\[ W = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_2} \]

\[ W = -\frac{k}{2} \left( x_2^2 - x_1^2 \right) \]

因此，弹力所做的功可以用以下公式表示：

\[ W = -\frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2) \]

这个公式的物理意义是，当弹簧从一个位置 \( x_1 \) 拉伸或压缩到另一个位置 \( x_2 \) 时，弹力所做的功取决于弹簧的劲度系数 \( k \) 和两个位置之间的位移平方差。

总结来说，通过应用胡克定律和功的定义，我们可以推导出弹力做功的公式。这一公式在分析弹性系统的行为时具有重要的应用价值。