在数学领域中，解决含未知数的复杂表达式是一个重要的技能。本题提供了一个包含两个变量 \( x \) 和 \( y \) 的方程：

\[ y = \sqrt{2x - 1} - \sqrt{1 - 2x} + \sqrt{4x} + 5y - 3^2 \]

首先，我们需要对这个等式进行简化和分析。从形式上看，这个方程结合了平方根函数和多项式的组合，因此需要仔细处理每一部分。

第一步：整理方程

将右边的常数项合并：

\[ y = \sqrt{2x - 1} - \sqrt{1 - 2x} + \sqrt{4x} + 5y - 9 \]

接下来，我们尝试将所有 \( y \) 项移到方程的一边：

\[ y - 5y = \sqrt{2x - 1} - \sqrt{1 - 2x} + \sqrt{4x} - 9 \]

\[ -4y = \sqrt{2x - 1} - \sqrt{1 - 2x} + \sqrt{4x} - 9 \]

第二步：确定定义域

由于方程中包含了平方根，必须确保平方根内的表达式非负。因此，我们需要解决以下不等式：

1. \( 2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2} \)

2. \( 1 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2} \)

3. \( 4x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0 \)

综合以上条件，我们得出 \( x = \frac{1}{2} \) 是唯一可能的解。

第三步：验证解

当 \( x = \frac{1}{2} \) 时，代入原方程检查是否成立：

\[ y = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} - \sqrt{1 - 2 \cdot \frac{1}{2}} + \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2}} + 5y - 9 \]

\[ y = \sqrt{0} - \sqrt{0} + \sqrt{2} + 5y - 9 \]

\[ y = 0 + 0 + \sqrt{2} + 5y - 9 \]

\[ y - 5y = \sqrt{2} - 9 \]

\[ -4y = \sqrt{2} - 9 \]

\[ y = \frac{9 - \sqrt{2}}{4} \]

因此，当 \( x = \frac{1}{2} \)，\( y = \frac{9 - \sqrt{2}}{4} \)。

结论

通过逐步推导和验证，我们得到了满足条件的 \( x \) 和 \( y \) 值。这种问题通常需要细致的代数操作和对函数性质的理解。