在高等数学的学习过程中，不定积分是一个非常重要的概念，它帮助我们理解函数的原函数以及解决各种实际问题。今天，我们将探讨一个经典的不定积分问题——如何求解 $ \int (\ln x) \, dx $。

首先，我们需要明确，$ \ln x $ 是自然对数函数，其定义域为 $ x > 0 $。因此，在求解该不定积分时，必须确保 $ x > 0 $。接下来，我们采用分部积分法来解决这个问题。

分部积分公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

在这里，我们可以选择 $ u = \ln x $ 和 $ dv = dx $。那么，对应的 $ du $ 和 $ v $ 分别为：

$$

u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x} \, dx

$$

$$

dv = dx \quad \Rightarrow \quad v = x

$$

将这些代入分部积分公式中，我们得到：

$$

\int (\ln x) \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx

$$

化简后：

$$

\int (\ln x) \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx

$$

显然，最后一个积分很容易计算：

$$

\int 1 \, dx = x + C

$$

因此，最终结果为：

$$

\int (\ln x) \, dx = x \ln x - x + C

$$

其中，$ C $ 为任意常数。

通过上述步骤，我们成功地求解了 $ \int (\ln x) \, dx $ 的不定积分。这个过程不仅加深了我们对分部积分法的理解，也展示了如何巧妙地运用基本积分规则解决问题。

希望这篇文章能够帮助大家更好地掌握这一知识点，并在学习过程中有所启发！

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