【一道错位相减法的例题,怎么做呢?】在数学学习中，数列求和是一个重要的知识点，而“错位相减法”是解决某些特殊数列求和问题的一种有效方法。它常用于等差数列与等比数列相乘后的数列求和，例如：
$$
S = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \cdots + a_nb_n
$$
其中 $a_n$ 是等差数列，$b_n$ 是等比数列。
下面以一个典型例题为例，详细讲解如何用错位相减法求解。
例题：
已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = n \cdot 2^n$，求前 $n$ 项和 $S_n$。
解题思路：
这是一个等差数列（$n$）与等比数列（$2^n$）相乘的数列，适合使用错位相减法来求和。
设：
$$
S_n = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n
$$
接下来，我们对这个式子进行错位相减：
1. 原式：
$$
S_n = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n
$$
2. 两边同乘以公比 $2$：
$$
2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + n \cdot 2^{n+1}
$$
3. 用原式减去新式：
$$
S_n - 2S_n = (1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n) - (1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^{n+1})
$$
整理后：
$$
-S_n = 2^1 + (2 \cdot 2^2 - 1 \cdot 2^2) + (3 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^3) + \cdots + (n \cdot 2^n - (n-1) \cdot 2^n) - n \cdot 2^{n+1}
$$
化简得：
$$
-S_n = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}
$$
左边是等比数列求和：
$$
S_n = n \cdot 2^{n+1} - (2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n)
$$
等比数列部分：
$$
2 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2(2^n - 1)
$$
最终结果为：
$$
S_n = n \cdot 2^{n+1} - 2(2^n - 1) = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2
$$
总结表格：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设数列和 $S_n = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^n$ |
| 2 | 两边乘以公比 2，得到 $2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^{n+1}$ |
| 3 | 用原式减去新式，得到 $-S_n = 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}$ |
| 4 | 等比数列求和：$2 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2(2^n - 1)$ |
| 5 | 最终结果：$S_n = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2$ |
通过上述步骤，我们可以清晰地看到错位相减法的应用过程。这种方法虽然看起来复杂，但只要掌握好“错位”和“相减”的关键步骤，就能轻松应对类似的数列求和问题。
