【一道初二数学题:将一条长为20CM的铁丝剪成两段,并且以每一段铁丝】这是一道典型的初中数学应用题，涉及到几何与代数的结合。题目是：将一条长为20厘米的铁丝剪成两段，并且分别用这两段铁丝围成一个正方形和一个圆。问如何剪裁才能使这两个图形的面积之和最小。
一、问题分析
假设将铁丝剪成两段，一段长度为 $ x $ 厘米，另一段长度为 $ 20 - x $ 厘米。
- 第一段用于围成一个正方形，则正方形的边长为 $ \frac{x}{4} $，面积为：
$$
A_1 = \left( \frac{x}{4} \right)^2 = \frac{x^2}{16}
$$
- 第二段用于围成一个圆，则圆的周长为 $ 20 - x $，半径为：
$$
r = \frac{20 - x}{2\pi}
$$
面积为：
$$
A_2 = \pi r^2 = \pi \left( \frac{20 - x}{2\pi} \right)^2 = \frac{(20 - x)^2}{4\pi}
$$
因此，总面积为：
$$
A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(20 - x)^2}{4\pi}
$$
二、求最小值
为了找到使面积最小的 $ x $ 值，我们对函数 $ A(x) $ 求导并令其导数为零：
$$
A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{-2(20 - x)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{(20 - x)}{2\pi}
$$
令导数为零：
$$
\frac{x}{8} = \frac{20 - x}{2\pi}
$$
两边同乘以 $ 8\pi $ 得：
$$
\pi x = 4(20 - x)
$$
解得：
$$
\pi x = 80 - 4x \\
(\pi + 4)x = 80 \\
x = \frac{80}{\pi + 4}
$$
计算近似值（取 $ \pi \approx 3.14 $）：
$$
x \approx \frac{80}{3.14 + 4} = \frac{80}{7.14} \approx 11.20 \text{ cm}
$$
所以，最优剪法是将铁丝剪成约 11.20 cm 和 8.80 cm 的两段。
三、结果总结
| 剪裁方式 | 正方形边长（cm） | 正方形面积（cm²） | 圆的周长（cm） | 圆的半径（cm） | 圆的面积（cm²） | 总面积（cm²） |
| x ≈ 11.20 | 2.80 | 7.84 | 8.80 | 1.40 | 6.16 | 14.00 |
四、结论
通过数学推导和优化计算，可以得出将铁丝剪成约 11.20 cm 和 8.80 cm 的两段时，所围成的正方形和圆的面积之和最小，约为 14.00 cm²。这体现了数学在实际问题中的应用价值。
