假设我们有两个二维向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)，它们在平面直角坐标系中的分量已知。虽然叉积通常用于三维空间，但在二维情况下，我们可以将其扩展到三维空间中来理解。

在三维空间中，两个向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2, 0)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, 0)\) 的叉积可以表示为：

\[

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & 0 \\

b_1 & b_2 & 0 \\

\end{vmatrix}

\]

其中，\(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\) 分别是x轴、y轴和z轴上的单位向量。通过行列式展开，我们得到：

\[

\vec{a} \times \vec{b} = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

\]

这意味着二维向量的叉积实际上是一个垂直于原平面的向量，其大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积，方向由右手定则确定。

因此，在二维坐标系中，我们可以简单地用公式 \(a_1b_2 - a_2b_1\) 来表示两个向量的叉积大小，并且这个值也是判断两个向量方向关系的重要指标。如果结果为正，则说明从 \(\vec{a}\) 到 \(\vec{b}\) 是逆时针旋转；如果为负，则为顺时针旋转；如果为零，则两向量共线。

这种表示方法不仅简洁直观，而且非常适合计算机图形学和物理模拟等需要高效计算的应用场景。通过这种方式，我们能够更方便地处理几何问题，并且为更高维度的空间提供了理论基础。