在数学分析中，求解函数的定积分是一项重要的技能。今天我们将探讨一个有趣的例子——函数 \( x \sin x \) 的定积分。这个函数看似简单，但其积分过程却蕴含着一些技巧和细节。

首先，我们需要明确定积分的基本公式和方法。对于形如 \( f(x)g'(x) \) 的函数，通常可以考虑使用分部积分法。在这里，我们可以将 \( x \sin x \) 视为 \( u = x \) 和 \( dv = \sin x dx \) 的组合。

接下来，我们应用分部积分公式：

\[

\int u dv = uv - \int v du

\]

令 \( u = x \)，则 \( du = dx \)；令 \( dv = \sin x dx \)，则 \( v = -\cos x \)。代入公式后，我们得到：

\[

\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx

\]

继续计算右侧的积分部分：

\[

\int \cos x \, dx = \sin x

\]

因此，最终结果为：

\[

\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C

\]

这里，\( C \) 是积分常数。如果需要计算定积分，则需根据上下限代入上述结果进行计算。

通过这一过程，我们可以看到，即使函数形式较为复杂，只要合理选择 \( u \) 和 \( dv \)，就可以顺利求解。这种练习不仅加深了对积分公式的理解，还锻炼了灵活运用数学工具的能力。

希望这篇简短的分析能帮助你更好地掌握此类问题的解决方法！