在高考数学中，数列是一个常考的知识点，尤其是在选择题和填空题部分，熟练掌握一些秒杀技巧可以有效节省时间并提高解题效率。本文将详细介绍一种针对等差数列与等比数列乘积求和问题的高效解法。

一、等差数列与等比数列的基本概念

等差数列是指一个数列中任意两项之间的差值相等，记作\(a_n = a_1 + (n-1)d\)，其中\(a_1\)为首项，\(d\)为公差。

等比数列是指一个数列中任意两项之间的比值相等，记作\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)，其中\(b_1\)为首项，\(q\)为公比。

二、乘积求和公式推导

对于等差数列与等比数列的乘积求和问题，我们通常会遇到形如\(\sum_{k=1}^n (a_k \cdot b_k)\)的形式。这类问题可以通过以下方法快速解决：

1. 拆分法

将乘积拆分为两部分，分别求和后再合并。例如：

\[

\sum_{k=1}^n (a_k \cdot b_k) = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n b_k \right)

\]

2. 代入公式法

根据等差数列和等比数列的通项公式，直接代入求和公式进行计算。例如：

- 等差数列前\(n\)项和：\(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\)

- 等比数列前\(n\)项和：\(T_n = \frac{b_1 \cdot (1-q^n)}{1-q}\)（当\(q \neq 1\)时）

三、实例解析

例题：已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=2\)，公差\(d=3\)；等比数列\(\{b_n\}\)的首项\(b_1=1\)，公比\(q=2\)。求\(\sum_{k=1}^4 (a_k \cdot b_k)\)。

解答步骤：

1. 求出\(\{a_k\}\)和\(\{b_k\}\)的前4项：

\[

a_k = 2 + (k-1) \cdot 3, \quad b_k = 1 \cdot 2^{k-1}

\]

得到：

\[

a_1=2, \, a_2=5, \, a_3=8, \, a_4=11; \quad b_1=1, \, b_2=2, \, b_3=4, \, b_4=8

\]

2. 计算乘积并求和：

\[

\sum_{k=1}^4 (a_k \cdot b_k) = (2 \cdot 1) + (5 \cdot 2) + (8 \cdot 4) + (11 \cdot 8)

\]

\[

= 2 + 10 + 32 + 88 = 132

\]

通过以上方法，我们可以快速准确地完成此类问题的求解。

四、总结

熟练掌握等差数列与等比数列的乘积求和技巧，不仅能够帮助我们在考试中节省时间，还能提升解题的准确性。希望本文介绍的方法对大家有所帮助，祝大家在高考中取得优异成绩！

以上内容为原创整理，旨在提供实用的解题思路，避免机械记忆，帮助考生灵活应对高考数学中的相关问题。