《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

在《线性代数》的学习过程中，行列式是一个非常基础且重要的概念。它不仅是理解矩阵性质的关键，也是解决线性方程组、计算特征值等问题的重要工具。本章精选了一些经典习题，并提供了详细的解答过程，帮助大家更好地掌握行列式的相关知识。

习题一：计算二阶行列式

题目：已知二阶行列式

\[

D =

\begin{vmatrix}

a & b \\

c & d

\end{vmatrix}

\]

求其值。

解答：根据二阶行列式的定义，有

\[

D = ad - bc

\]

因此，行列式的值为 \(ad - bc\)。

习题二：三阶行列式的展开

题目：计算以下三阶行列式的值：

\[

D =

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{vmatrix}

\]

解答：利用三阶行列式的展开公式，选择第一行展开：

\[

D = 1 \cdot

\begin{vmatrix}

5 & 6 \\

8 & 9

\end{vmatrix}

- 2 \cdot

\begin{vmatrix}

4 & 6 \\

7 & 9

\end{vmatrix}

+ 3 \cdot

\begin{vmatrix}

4 & 5 \\

7 & 8

\end{vmatrix}

\]

分别计算每个小行列式的值：

\[

\begin{vmatrix}

5 & 6 \\

8 & 9

\end{vmatrix}

= 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3

\]

\[

\begin{vmatrix}

4 & 6 \\

7 & 9

\end{vmatrix}

= 4 \cdot 9 - 6 \cdot 7 = 36 - 42 = -6

\]

\[

\begin{vmatrix}

4 & 5 \\

7 & 8

\end{vmatrix}

= 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3

\]

代入原式：

\[

D = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0

\]

因此，该三阶行列式的值为 \(0\)。

总结

通过以上两道习题，我们可以看到行列式的基本计算方法和技巧。无论是二阶还是三阶行列式，都需要熟练掌握其定义和展开规则。希望这些习题能帮助大家巩固基础知识，为进一步学习线性代数打下坚实的基础。

如果您在学习中遇到更多问题，欢迎随时交流探讨！

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