【需要举一个例子加以说明余式定理是什么举例说明】余式定理是代数中一个重要的定理，常用于多项式除法中。它指出：当一个多项式 $ f(x) $ 被 $ x - a $ 除时，所得的余数等于 $ f(a) $。也就是说，如果我们将多项式 $ f(x) $ 除以 $ x - a $，那么余数就是将 $ x = a $ 代入多项式后得到的值。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
余式定理的核心在于通过代入法快速求出多项式除以 $ x - a $ 的余数，而无需进行复杂的多项式除法运算。这一方法在实际计算中非常高效，尤其适用于高次多项式的处理。
例如，若有一个多项式 $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 $，我们想求其被 $ x - 2 $ 除后的余数。根据余式定理，只需计算 $ f(2) $ 即可得出余数。
表格展示：
| 多项式 $ f(x) $ | 除式 $ x - a $ | 计算 $ f(a) $ | 余数 |
| $ x^3 - 2x^2 + 3x - 4 $ | $ x - 2 $ | $ f(2) = 8 - 8 + 6 - 4 = 2 $ | 2 |
详细步骤说明：
1. 确定多项式和除式
假设多项式为 $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 $，除式为 $ x - 2 $。
2. 应用余式定理
根据余式定理，余数 = $ f(2) $。
3. 计算 $ f(2) $
$$
f(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 3(2) - 4 = 8 - 8 + 6 - 4 = 2
$$
4. 得出结论
所以，$ f(x) $ 被 $ x - 2 $ 除后的余数为 2。
通过这个例子可以看出，余式定理能够快速求得多项式除法的余数，避免了繁琐的长除法过程。这种方法不仅节省时间，也减少了计算错误的可能性。
