在现代法治社会中，行政主体作为国家权力的重要执行者，其行为直接影响到公民的权利与义务。为了确保行政权依法行使并保护公共利益和个人权益，法律对行政主体设定了明确的责任机制。当行政主体的行为违反法律规定或侵害了相对人的合法权益时，就需要承担相应的行政责任。那么，具体而言，行政主体承担行政责任的方式有哪些呢？

首先，行政主体可以通过赔礼道歉来承担行政责任。这是一种较为温和但具有象征意义的方式，适用于轻微的行政过错情形。通过公开承认错误并向受害人表达歉意，不仅能够弥补受害者的心理创伤，也有助于恢复政府公信力。

其次，行政主体需履行纠正违法行为的职责。例如，如果行政机关作出的行政处罚决定存在事实不清或者程序违法等问题，则应撤销该决定，并重新作出合法合规的处理。这种方式旨在及时纠正不当行为，避免进一步损害当事人的合法权益。

再者，行政赔偿也是行政主体承担责任的重要形式之一。当行政主体因自身过错给公民、法人或其他组织造成财产损失或人身伤害时，应当依法给予经济补偿。这种赔偿体现了国家对于公民权利受损后的救济功能，同时也是对行政主体的一种约束手段。

此外，行政主体还可以通过停止侵权行为来承担法律责任。比如，在某些情况下，行政机关可能会超越职权范围干涉私人事务，此时就必须立即终止此类行为，并承诺不再重复类似情况发生。

最后，对于情节严重且构成犯罪的行政违法行为，除了上述措施外，还可能涉及刑事责任追究。这表明任何单位和个人都必须遵守法律法规，不得滥用职权谋取私利。

综上所述，行政主体承担行政责任的具体方式包括但不限于赔礼道歉、纠正违法行为、行政赔偿以及停止侵权行为等。这些措施既有利于维护社会公平正义，又可以促进政府高效廉洁地运转。因此，建立健全相关制度规范显得尤为重要，以保障各方利益平衡和谐发展。