【三角函数的公式有哪些】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具。它们不仅广泛应用于几何学、物理学，还在工程、计算机科学等领域有着重要的应用。为了帮助大家更好地理解和掌握三角函数的相关知识，本文将对常见的三角函数公式进行总结，并以表格的形式展示。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | $\sin\theta = \frac{a}{c}$ |
| 余弦（cos） | $\cos\theta = \frac{b}{c}$ |
| 正切（tan） | $\tan\theta = \frac{a}{b}$ |
| 余切（cot） | $\cot\theta = \frac{b}{a}$ |
| 正割（sec） | $\sec\theta = \frac{c}{b}$ |
| 余割（csc） | $\csc\theta = \frac{c}{a}$ |
二、常用三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 基本恒等式 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ |
| 正切与正割关系 | $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ |
| 余切与余割关系 | $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式表达 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos\theta$ |
| $\tan(-\theta)$ | $-\tan\theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin\theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos\theta$ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦和差角 | $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ |
| 余弦和差角 | $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ |
| 正切和差角 | $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦倍角 | $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ |
| 余弦倍角 | $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ 或 $2\cos^2\theta - 1$ 或 $1 - 2\sin^2\theta$ |
| 正切倍角 | $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦半角 | $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| 余弦半角 | $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| 正切半角 | $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ 或 $\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ |
七、积化和差与和差化积
| 公式名称 | 公式表达 |
| 积化和差（正弦） | $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ |
| 积化和差（余弦） | $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ |
| 和差化积（正弦） | $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ |
| 和差化积（余弦） | $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ |
总结
三角函数的公式种类繁多，但其核心内容主要围绕基本定义、恒等式、角度变换、和差角、倍角、半角、积化和差以及和差化积等方面展开。掌握这些公式不仅有助于解决数学问题，也能提升对周期性和波动现象的理解。
通过上述表格形式的整理，读者可以更清晰地了解各类三角函数公式的应用场景和表达方式，便于记忆与应用。
