【求根公式推导】在数学中，一元二次方程的求根公式是解方程的重要工具。它能够帮助我们快速找到二次方程的解，而无需通过试错或图形法。本文将对一元二次方程的求根公式进行详细推导，并以表格形式总结关键步骤。
一、一元二次方程的一般形式
一元二次方程的标准形式为：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
其中：
- $ a $ 是二次项系数；
- $ b $ 是一次项系数；
- $ c $ 是常数项。
二、求根公式的推导过程
以下是对求根公式的逐步推导过程：
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 原方程：$ ax^2 + bx + c = 0 $ | 初始方程 |
| 2 | 移项：$ ax^2 + bx = -c $ | 将常数项移到等号右边 |
| 3 | 两边同时除以 $ a $：$ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $ | 消去二次项前的系数 |
| 4 | 配方：$ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $ | 左边配成完全平方 |
| 5 | 左边化简：$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $ | 完全平方展开 |
| 6 | 开平方：$ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} $ | 对两边开平方 |
| 7 | 解出 $ x $：$ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 移项并合并同类项 |
| 8 | 最终公式：$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 合并分子项 |
三、结论
通过上述推导过程，我们得到了一元二次方程的求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
这个公式适用于所有形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一元二次方程（其中 $ a \neq 0 $）。根据判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ 的值，可以判断方程的根的情况：
| 判别式 $ \Delta $ | 根的情况 | 说明 |
| $ \Delta > 0 $ | 两个不相等实数根 | 方程有两个不同的实数解 |
| $ \Delta = 0 $ | 一个实数根（重根） | 方程有一个重复的实数解 |
| $ \Delta < 0 $ | 两个共轭复数根 | 方程无实数解，但有两个复数解 |
四、总结
求根公式是解决一元二次方程的关键工具，其推导过程基于配方法和代数运算。掌握这一公式不仅有助于解题，还能加深对二次函数图像和性质的理解。通过表格形式的总结，可以更清晰地理解每一步的逻辑关系，从而提高学习效率。
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