在数学领域中，复数是一个非常重要的概念。复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i² = -1。复数的引入使得许多原本无法解决的问题得以解决，尤其是在工程学、物理学以及信号处理等领域。

加法与减法

复数的加法和减法是非常直观的。假设我们有两个复数z₁ = a + bi 和 z₂ = c + di，那么它们的和与差分别为：

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d)i

这里的加法和减法分别对应于实部和虚部的独立相加或相减。

乘法

复数的乘法规则稍微复杂一些。两个复数z₁ = a + bi 和 z₂ = c + di 的乘积为：

z₁ × z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i

这个公式可以通过分配律推导出来，并且要注意虚数单位i的平方等于-1。

除法

复数的除法需要利用共轭的概念。如果我们要计算z₁ / z₂，首先找到z₂的共轭复数\overline{z₂} = c - di，然后分子分母同时乘以这个共轭复数，得到：

z₁ / z₂ = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]

简化后得到：

z₁ / z₂ = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

这里分母(c² + d²)是一个实数，因此可以将结果写成标准形式。

模长与共轭

复数还有一个重要的属性就是模长和共轭。复数z = a + bi 的模长定义为|z| = √(a² + b²)，而它的共轭复数记作\overline{z} = a - bi。模长表示复平面上点到原点的距离，而共轭复数则是将虚部取反得到的数。

这些基本的运算公式构成了复数理论的基础，帮助我们在各种实际问题中应用复数进行分析和求解。无论是电路分析还是量子力学研究，复数都扮演着不可或缺的角色。掌握好这些基础运算规则，对于进一步学习更高级的数学知识至关重要。