【商的求导公式】在微积分中，函数的求导是研究函数变化率的重要工具。当遇到两个函数相除的形式时，即“商”的形式，我们需要使用专门的求导法则来计算其导数。本文将对“商的求导公式”进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、商的求导公式简介
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则该函数的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式称为“商的求导法则”，也常被称为“商法则”。它与乘积法则类似，但需要特别注意分子部分的减法顺序。
二、商的求导公式详解
1. 定义：若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
2. 步骤说明：
- 先分别求出分子函数 $ u(x) $ 的导数 $ u'(x) $。
- 再求出分母函数 $ v(x) $ 的导数 $ v'(x) $。
- 将 $ u'(x) $ 与 $ v(x) $ 相乘，得到第一项。
- 将 $ u(x) $ 与 $ v'(x) $ 相乘，得到第二项。
- 用第一项减去第二项，作为分子。
- 分母为 $ [v(x)]^2 $。
3. 注意事项：
- 分母不能为零，否则函数无定义。
- 注意分子中的减号，不能颠倒顺序。
- 可以先简化表达式再求导，有时可以减少计算量。
三、商的求导公式示例
| 函数 | 导数 |
| $ \frac{x}{x+1} $ | $ \frac{(1)(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} $ |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $ |
| $ \frac{e^x}{x^2} $ | $ \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x (x^2 - 2x)}{x^4} $ |
四、总结
商的求导公式是微积分中处理分数形式函数的重要工具。掌握这一公式不仅可以帮助我们更准确地求解复杂函数的导数，还能提高我们在实际问题中的建模能力。通过理解公式的结构和应用方法，能够有效降低计算错误率，并提升数学思维的严谨性。
附：商的求导公式一览表
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 商的求导法则（商法则） |
| 表达式 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 应用场景 | 求两个可导函数之商的导数 |
| 注意事项 | 分母不为零；分子为差，顺序不可调换 |
| 示例函数 | $ \frac{x}{x+1}, \frac{\sin x}{\cos x}, \frac{e^x}{x^2} $ |
如需进一步了解其他求导法则（如链式法则、乘积法则等），可继续关注相关内容。
