【arctantanx的平方化简】在数学中，反三角函数与三角函数之间的关系常常让人感到困惑。尤其是在处理像“arctan(tan x)”这样的表达式时，需要特别注意其定义域和值域的限制。本文将对“arctan(tan x) 的平方”进行分析，并给出一个清晰的总结与表格形式的简化结果。

一、基本概念回顾

- tan x 是正切函数，定义域为 $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $（k 为整数），值域为全体实数。

- arctan y 是反正切函数，定义域为全体实数，值域为 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $。

因此，arctan(tan x) 并不总是等于 x，只有当 x 属于 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 时才成立。否则，它会返回一个在 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 范围内的等效角度。

二、arctan(tan x) 的性质

1. 当 $ x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 时，$ \arctan(\tan x) = x $

2. 当 $ x \notin (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 时，$ \arctan(\tan x) = x - k\pi $，其中 k 是使得结果落在 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 内的整数。

三、arctan(tan x) 的平方

我们考虑的是：

$$