在数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅在几何学中有广泛应用，而且在物理学、工程学等领域也有着不可或缺的地位。而当我们研究平面向量时，引入坐标系无疑是一种非常有效的方法。通过将向量放置于平面直角坐标系中，我们可以利用代数手段来处理几何问题，从而简化计算过程并提高解决问题的效率。

首先，让我们明确什么是平面向量及其坐标表示。一个平面向量可以看作是从一个点指向另一个点的有向线段。如果我们将这个有向线段的起点设为原点O(0, 0)，那么它的终点P(x, y)就确定了这个向量的位置。因此，我们可以说向量v可以用它的终点坐标(x, y)来唯一表示，即v=(x, y)。

接下来，我们来看看如何进行平面向量的基本运算，并给出相应的坐标运算公式：

1. 向量加法：若有两个向量v₁=(x₁, y₁)和v₂=(x₂, y₂)，它们的和v=v₁+v₂也可以通过坐标来计算，其结果为v=(x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 向量减法：类似地，对于两个向量v₁=(x₁, y₁)和v₂=(x₂, y₂)，它们的差v=v₁-v₂的结果为v=(x₁-x₂, y₁-y₂)。

3. 标量乘法：当一个向量v=(x, y)与一个标量k相乘时，所得的新向量kv的结果为kv=(kx, ky)。

4. 向量的数量积（点积）：假设两个向量v₁=(x₁, y₁)和v₂=(x₂, y₂)，它们的数量积v₁·v₂可以通过坐标计算得出，即v₁·v₂=x₁x₂+y₁y₂。数量积的一个重要性质是它可以用来判断两个向量是否垂直——如果v₁·v₂=0，则说明这两个向量互相垂直。

5. 向量的模长：对于任意一个向量v=(x, y)，它的模长|v|可以通过下面的公式计算得到：|v|=√(x²+y²)。

6. 单位向量：给定向量v=(x, y)，如果需要找到与之方向相同但长度为1的单位向量u，则可以使用以下公式：u=(x/|v|, y/|v|)，其中|v|为向量v的模长。

以上就是关于平面向量的一些基本坐标运算公式。掌握了这些知识后，在解决实际问题时就能更加得心应手了。例如，在物理中，力、速度等都可以视为向量；而在计算机图形学里，变换物体位置也离不开向量的操作。因此，熟练运用这些公式不仅有助于加深对数学理论的理解，还能培养逻辑思维能力和解决问题的能力。