【数学三角函数公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
- 正弦（sin）：sinθ = 对边 / 斜边 = a / c
- 余弦（cos）：cosθ = 邻边 / 斜边 = b / c
- 正切（tan）：tanθ = 对边 / 邻边 = a / b
- 余切（cot）：cotθ = 邻边 / 对边 = b / a
- 正割（sec）：secθ = 斜边 / 邻边 = c / b
- 余割（csc）：cscθ = 斜边 / 对边 = c / a
二、三角函数的基本关系式
| 公式 | 表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ；cosθ = 1 / secθ；tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1；1 + tan²θ = sec²θ；1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度 | sinθ | cosθ | tanθ |
| -θ | -sinθ | cosθ | -tanθ |
| π - θ | sinθ | -cosθ | -tanθ |
| π + θ | -sinθ | -cosθ | tanθ |
| 2π - θ | -sinθ | cosθ | -tanθ |
| π/2 - θ | cosθ | sinθ | cotθ |
| π/2 + θ | cosθ | -sinθ | -cotθ |
四、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin(A ± B) | sinA cosB ± cosA sinB |
| cos(A ± B) | cosA cosB ∓ sinA sinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角与半角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin(2θ) | 2 sinθ cosθ |
| cos(2θ) | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan(2θ) | 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | (1 - cosθ) / sinθ 或 sinθ / (1 + cosθ) |
六、积化和差与和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| sinA + sinB | 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
七、反三角函数简要介绍
反三角函数是三角函数的反函数，用于求已知三角函数值所对应的角度，常见有：
- arcsin x（反正弦）：定义域 [-1, 1]，值域 [-π/2, π/2
- arccos x（反余弦）：定义域 [-1, 1]，值域 [0, π
- arctan x（反正切）：定义域 R，值域 (-π/2, π/2)
总结
三角函数公式是数学学习中的重要基础内容，掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，还能提升逻辑思维和抽象能力。通过表格的形式整理，可以更清晰地理解和记忆各类公式。建议在学习过程中结合图形和实例，加深对公式的理解与应用。
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